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数学I・A　第1問模範解答

[1]問題

方程式
2(x-2)2=|3x-5|・・・@
を考える。

(1) 方程式@の解のうち，x＜(5/3)を満たす解は
x=（ア），（イ）/（ウ）
である。

(2) 方程式@の解は全部で（エ）個ある。その解のうち最大のものを
αとすると，m≦α＜m+1を満たす整数mは（オ）である。
[1]解答

まず絶対値の中が正のとき，負のときとで分けて考える。
絶対値の中が正のとき
2(x-2)2=3x-5
2x2-8x+8=3x-5
2x2-11x+13=0
となる。これでｘの解を求めると
x={11±√(112-4・2・13)}/(2・2)
となり√の中を計算すると√は√17となり整数に直すことはできない。
問題と照らし合わせると，xの解は√になりえない。
絶対値の中が負のとき
2(x-2)2=(-3)x-5
2x2-5x+3=0
となる。これでｘの解を求めると
x={5±√(52-4・2・3)}/(2・2)
となり√の中を計算すると√は√1=1となり
x=(5±1)/4=1，3/2
よって（ア）1（イ）3（ウ）2

(2)方程式@の解は絶対値が正のとき，負のとき，それぞれ２つずつ
あるので解は全部で４つである。
αは解の最大であり
α=(11+√17)/4
4＜√17＜5であるから
3＜α＜4となりm=3となる。
よって（エ）4（オ）3
[2]問題
集合A，B，を
A={n|nは10で割り切れる自然数}
B={n|nは4で割り切れる自然数}
とする。
(1)次の（カ）と（キ）に当てはまるものを，下の０〜３のうちから
一つずつ選べ。
自然数nがAに属することは，nが2で割り切れるための（カ）。
自然数nがBに属することは，nが20で割り切れるための（キ）。
０:必要十分条件である
１:必要条件ではあるが，十分条件ではない
２:十分条件ではあるが，必要条件ではない
３:必要条件でも十分条件でもない

(2)次の（ク）〜（コ）に当てはまるものを，下の０〜７のうちから
一つずつ選べ。
C={n|nは10と4のいずれでも割り切れる自然数}
D={n|nは10でも4でも割り切れない自然数}
E={n|nは20で割り切れない自然数}
とする。自然数全体の集合を全体集合とし，その部分集合Gの補集合を
Gバーで表すとき
C=（ク），D=（ケ），E=（コ）
である。
０:A∪B　１:A∪Bバー　２:Aバー∪B　３:(A∪B)バー
４:A∩B　５:A∩Bバー　６:Aバー∩B　７:(A∩B)バー
[2]解答
(1)この問題を解くためには，必要条件と十分条件の違いを理解する
必要がある。
AであることはBであることの０〜３。
・十分条件とは・・・Aが成り立てばBもなりたつ
・必要条件とは・・・Bが成り立てばAもなりたつ
このことを理解すればこの問題は簡単なものである。

自然数nがAに属することは，nが2で割り切れるための？
Aは10で割り切れる自然数である。10は2で割り切れるため，10で割り
切れるなら2でも割り切れる。
10で割り切れることは，2で割り切れることを証明するものである。
つまり，十分条件が成り立つ。
逆に2で割り切れたとしても，10で割り切れるとは限らない。
2で割り切れることは，10で割り切れることの証明にはならない。
つまり，必要条件は成り立たない。
よって（カ）2

自然数nがBに属することは，nが20で割り切れるための？
Bは4で割り切れる数字である。
4で割り切れたとしても，20で割り切れるとは限らない。
4で割り切れることは，20で割り切れることを証明するものではない。
つまり，十分条件は成り立たない。
20は4で割り切れるため，20で割り切れるものは4でも割り切れる。
20で割り切れることは，4で割り切れることを証明するものである。
つまり，必要条件は成り立つ。
よって（キ）1

(2)この問題をは，∪，∩，バーの意味が分かっていれば簡単な問題。
∪は，少なくともどちらかは成り立つことを意味する。
例）A∪B：AかB少なくともどちらかは成り立つ。
∩は，どちらも成り立つことを意味する。
例）A∩B：AとBの両方とも成り立つ。
バーは，否定を意味する。
例）Aバー:Aに属さない。
例）Aバー∩B：Aには属せずにBには属する。

Cは，10で割り切れるためAに属し，4でも割り切れるのでBにも属する。
つまり，A∩Bとなる。

Dは，10で割り切れないためAに属さず，4でも割り切れないためBにも
属さない。これはAかB少なくともどちらかには属していることを否定
していることにもなる。
つまり，(A∪B)バーとなる。

Eは，20で割り切れないので，10で割り切れるかどうかわからず，４で
割り切れるかどうかもわからない。しかし，10と4の両方で割り切れる
ことはないため，AとB両方に属していることはあり得ない。
つまり，(A∩B)バーとなる。
よって，（ク）4（ケ）3（コ）7